引言：
春节期间，在小学高年级读书的刚到11岁的侄女，来我家玩。孩子很自立，就是过年来叔叔家也背着书包，不忘记复习功课。每天，她玩一会儿之后，就能自觉地拿出作业本来做作业。一次在做数学作业的时候，她做着做着忽然停了下来，紧锁着眉头，我问她：“怎么了，佳佳？不舒服吗？”
“不是，这道题，我找不到合适的口诀，不会做。”
“哪道题？”
她指着打开的练习题册33页中的第2题——我看到了这是一套标有“寒假作业”字样的铅印的《四则运算应用题》题集——向我说：
“就是这道。”
我边看题边问她：“怎么？还有解题口诀？”这题的内容是：有2分和5分硬币共28枚，总值1.07元，问两种硬币各多少枚？
她说：“是啊，老师曾经教我们许多口诀，就像‘盈亏问题’的口诀是：‘有余加不足，再用差去除’……”
“那这道题是什么类型问题呢？该用什么口诀呀？”
“我判断不出来，所以也就找不到合适的口诀。掰叔，你能给我讲讲吗？”
“佳佳，你这可有点难为叔叔了，你知道，我是教物理的，小学的四则应用题是很难讲的，何况我扔了这么长的时间了，突然拿出一道这样的题，恐怕我也讲不明白呢！”
“我不信，你都是大学理科本科的毕业生了，能教高中物理，怎么还能不会小学的数学呢？”
“不是我不会，这题要是用初中的二元一次方程组的知识来解，那是很简单的。可你还没学到这个数学知识啊！把这样的知识，避开方程组、用你现阶段能理解的方式，提前讲给你，我还真没有把握，——毕竟我还没教过小学的数学课啊！甚至有些话应该怎样和你说，我都不知道呢！”
“那你就给我讲讲试试吧，说不定我还能听懂呢，我不是很笨的孩子……”
“那好吧，我尽量讲得细点，争取给你讲明白就是了。”
下面的内容，就是我给她讲的过程和引起我的思考了。
正文：
掰：“这道题说的是有面值为2分和5分的两种硬币，共28枚，总钱数是1元零7分，以后为了计算方便，我们称它为107分，让我们求出这两种硬币各是多少枚。这题意你都理解了吧？”
佳：“这我知道。”
“为了求得硬币各是多少，我们要分析它们之间的数量关系，以便从中找到思路。
在这里我们看到了，28枚和107分这两个总数都是不变的，而5分和2分的枚数是互相制约的，5分的多了，钱的总量会大，2分的多了，则会小。这样，我们可以从它们的特殊数量中，来找一找，看是不是能找到它们枚数的规律。这个特殊数量是什么呢？只能是假设为全都是2分的（或全都是5分的）和各占一半的两种情况吧。
详细点说，就是：如果把硬币都当做2分的，因为这里面实际原来有5分的，那28枚钱的总数，一定比107分为少，即是：2分×28=56分钱，比总值107分少了51分。那这少了的51分，是什么原因少了的呢？显然是因为明明是5分的，而被当作是2分的而少算了的，即每一个5分硬币，被少算了：5分－2分=3分。——正是这一个个3分，组成了这51分，也就是说，这51分中包括的3分的个数，就是5分硬币的枚数。具体来说，5分的枚数，是：51分÷3分=17（枚），剩下的：28枚－17枚=11枚，是2分的。
我这样讲，你听得懂吗？”
“听得懂。你讲的比我们在数学课上听老师讲的还好懂，我能跟上你的思路的……”
“那你根据这个思路，想想应该怎样列算式。——你说一下这关键的求5分的算式是什么？”
“5分的枚数=51分÷3分”
“可这等号右边的量，都不是已知中给出的量啊！我们还应该把这些量用已知量来表示才行。和已知量相联系，则：51分该用107分－2分×28来表示，那3分该用——”
“5分－2分来表示”孩子联想和类推的能力很强，很快就接了出来。
“好，那我们写出总的算式，就是：
5分的枚数=（107分－2分×28）÷（5分－2分）
这就是求5分硬币的公式。由此，我们应该能用语言表达出这个公式的内容，这就是：
面值较大的硬币数等于：小括号里面，总钱数减去面值较小的硬币的面值乘以硬币总数所得的差，再被这两种硬币面值的差去除，最后所得的商。
对了，我还想问你：在上面的等式中，如果把小括号去掉行不行？”
“不行，如果去掉了，那运算的顺序就变了，也就得不出正确答案了。”
“好，你说得对。
还有，你要从我们分析的路子中，积累一些求解数学问题的经验，譬如我们开始的时候设想过，如果在一般情况下无处下手的话，那就要从特殊的或极端的情况来着手考虑了。我们曾经说过，这里有两种情况，一种是假定全部是某一种硬币，一种是假定各占一半。前面我们是用假定全部硬币都是2分的情况来求解的，那你能不能再从假定全部硬币都是5分的情况，来找出解这类问题的方法呢？现在给你时间，不用你马上回答这个问题，——想好了，就和我说说，好吗？”
“好的，我来试试。……若假定硬币全是5分的，那5分×28=140分，则比题中所设要多33分，这33分会和硬币的枚数有什么关系呢？……嗯，为什么会多？是5分硬币的数被假定多了，那每假定的多一个5分的，就多出了3分钱……这多出来的5分硬币的个数，就是2分硬币的个数……”她一边想，还一边叨咕着，稍许，她说：
“有了，这规律是：
2分的枚数=（5分×28－107分）÷（5分－2分）”
“好，我们已经从两个角度探讨了这道题的解法，现在，你会做了吗？你能不能总结出这是个什么类型的应用题啊？”
“会做了。可这个‘类型’我还说不上，总不能叫‘硬币混合’问题吧？”
“呵呵呵！”我笑了笑，“很好，会了就好！但我们不能讲会一道题，就只会这一道题，而要从中找出一般规律，进一步由此推广，来求解更多的题，这就是我问你这题是什么类型题的原因。
下面我们一起来考虑：这2分的硬币，我们可以怎样联想呢？是不是可以看成是一个有两条腿的动物呢？”
“可以看成是有两条腿的鸟。”
“那5分的硬币可以看成是——”
她想了想，“可没有5条腿的动物呀？”
“如果一般地只把它想成腿数相对较多的动物呢？譬如是4条腿的。”
“那就多了，畜类都是4条腿。如果不限定是动物，那桌子、板凳、衣櫃等也都是4条腿……”
“那这类问题，就可以粗略的认为是求禽类和畜类的只数问题了，而不影响它的正确性，是不是？”
“是啊，那这个问题实质是‘鸡兔同笼’问题，对不对？”她恍然大悟！
“对啊！这就是说你们已经学过这类问题了？那你怎么不用老师教的方法去解？”
“我没联想到这是‘鸡兔同笼’问题；就是想到了，那口诀太复杂，我也记不住。”
“噢，是这样。”听到她的话，我心里似有所动。
“那我们就利用这个机会，来总结一下一般解‘鸡兔同笼’问题的规律好不好？
对照求5分硬币的公式，把这个等式中的量用鸡兔来表示就是：
兔数=（总腿数－1只鸡的腿数×鸡兔总只数）÷（1只兔的腿数－1只鸡的腿数）”
“这也很难记呀！”
“你不要硬记这个等式，你要注意这个分析的思路，理解这个等式的意思。好，你回想一下我给你讲的路子是怎样的，然后，你来说说这个等式所表示的意思。”
她想了想，说：
“解‘鸡兔同笼’问题的规律是，兔子的只数等于：总腿数扣除把全部动物当成鸡的总腿数所得的差，然后被一只兔子和一只鸡的腿数之差来除，最后所得的商。”
“好，好。你理解和总结得很好。
你还要知道我们的分析思路是：假定全部是鸡，那总腿数比实际要少，实际腿数多出的那一部分，就是兔子腿多的，这里面就隐含了兔子数。
“掰叔，你能不能想法给总结出一个简单一点的口诀，前面的那个太难记了……”
“这可不太容易，我们一起来发现一下吧。看看前面的这两个算式：
5分的枚数=（107分－2分×28）÷（5分－2分）
2分的枚数=（5分×28－107分）÷（5分－2分）
你比较一下，看它们有什么共同的东西？”
“最后结果都是一个商；后面的除数都是5分－2分；被除数都是两个数之差。”
“好，你找得很准，是这样。那我们就用一个比较简单的两句话，来象征性的表示这个规律吧！我们用‘大腿数减小腿数，除以一只兔腿数减一只鸡腿数’这个口诀来作为解‘鸡兔同笼’问题的口诀行不行？”
“行啊！”她高兴得拍起手来，“这就比较好记了！”
“可是你得知道它的意义啊！”
“我知道的。‘大腿数减小腿数’，是指我们假定的算出的腿数和题中所给的腿数，这两个数谁大谁做被减数；‘一只兔腿数减一只鸡腿数’，是指一只腿多的动物腿数做被减数，这里的兔鸡腿不一定专指4和2，泛指腿数多的减腿数少的；前面的差除以后面的差，所得的商数就是答案。
‘大腿数’是题设的总腿数的时候，在确定答案上，所得的商是‘兔’的数。
当然不同情况要用不同的量去对号入座。可无论怎样，一旦我们能想出这个口诀来，这题也就能解了。”
“佳佳，口诀虽然能够帮助我们找到解题的捷径，但你可不要太依赖它，重要的还是对题会分析。口诀、公式都是死的，不但容易忘记，而且如果硬套口诀或公式，还常常好出错。只有会分析题，才能适应各式各样变化着的题，这需要对知识进行灵活地运用。
前面，我们已经总结出了‘鸡兔同笼’问题的公式和口诀，在这个过程中，应该实事求是地说，你对这类问题的分析已经上路了！这让叔叔很高兴，高兴我的佳佳侄女接受能力和独立思考能力这么强！现在我们休息一会儿，你吃两个桔子吧，算作对你的奖励！——这奖品有点太廉价了，象征一下、是掰叔和你开个玩笑吧。呵呵！不过你别高兴得太早，我还有问题要让你回答呢？就是说，我还要检验一下你现在的分析能力有没有提高呢！”
“是嘛？让我先吃一个桔子再说，我一定能回答上来！是什么问题，你现在就说——”孩子也来了积极性，她很有信心，还有点迫不及待了。
“不，不。等你吃完了再说，边吃边考虑问题，会影响消化液的分泌，对健康不利啊！常这样，弄不好会让佳佳长得像个小企鹅呢！呵呵呵！”我逗着侄女说。
吃一个桔子，也不过用了一两分钟的时间，她不管我的逗乐，急着说：
“掰叔，说问题呀？”
“在我们分析问题的时候，还说了有第二种考虑，就是假定两种硬币各占一半，用这个思路，你能不能也找到一个解题方法？”
“我来试试：假定两种硬币各占一半，那钱的总数，就是：28/2×（5＋2）=98（分），这个数比107分，少了9分，钱数少了，说明的是5分的硬币假定的14比实际的数少了，少了多少枚呢？少一枚是少了3分，那少了9分，就是少了9分÷3分=3（枚），那么，5分的硬币数，就是14枚＋3枚=17枚；2分的，就是14枚－3枚=11枚了。”
“算式比较麻烦，我替你说了：
5分的硬币数=28 /2＋[107－28/2×（5＋2）]÷（5－2）
这里你遇到的情况是假定的情况98比107少，那有没有可能比107还多的情况呢？”
“会有的，那就应该是2分的数量超过半数的情况。具体的求法和前面的相类似。”
（待续）
